Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль. 

Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь –  вырезать.  Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).

Верно: удалить волосы под мышкой. Подробнее см. в словарях.

Лучше: с компьютера.

Я удалю, ты удалишь, он удалит, мы удалим, вы удалите, они удалят.

Зарекаться означает "дать зарок не делать чего-либо впредь", поэтому частица не не требуется: Я зарекался судить окружающих.

Смысл фразы не вполне ясен, поэтому сложно говорить о написании.

Удалю, удалишь... У глаголов совершенного вида единая форма настоящего-будущего времени.

Корректная пунктуация: Впоследствии она бежит обратно, намереваясь взять подсвечник со стены и, если понадобится, ударить им обидчика.