Правильно: ...сторожка, которую мне хотелось во что бы то ни стало разыскать, оказалась...
Правилен такой разбор: [Дома мой гость сразу начал мне жаловаться], (что (пока он ехал ко мне), то заблудился в лесу и вынужден был заночевать в сторожке лесника). В этом предложении три части.
Им. п. мн. ч. - сторожА.