Это новое слово и для нашей орфографии (то есть для удобства пишущих) желательно, чтобы оно, если останется в языке, подчинилось правилам. А правило таково.

В простых (не сложных) иноязычных словах буква е пишется после гласных букв и, е независимо от произношения — с [j] или без него, напр.: абитуриент [э], ариетта [э], аудиенция [э], градиент [э], диета [э] и [jэ], ингредиент [э], клиент [э] и [jэ], коэффициент [э], пациент [э], регредиент [э], реестр [э], реципиент [э], риелтор, симфониетта [э]. Пишется также е в словах проект и производных проектировать, проекция, проектный (нормативным считается произношение [э] без йотации), интервьюер, траектория, фаер, флаер («листовка»), фраер, ваер, вьюер, туер, буер, элюент. В остальных случаях, в том числе в начале корня в сложном слове, пишется буква э, напр.: инфлюэнция, пауэрлифтинг, полиэтилен, силуэт, статуэтка, тауэр, тетраэдр.

Статуэтка Пушкина в значении "небольшая скульптурная фигурка Пушкина" - корректно.

1. Это вопрос не столько практической грамотности (орфографии), сколько типографики, технического оформления текстов при подготовке к печати, публикации. Разделение кавычек на русские и английские соответствует типографской традиции.

2. Кавычки используются для выделения условных имен собственных. Если Вы пишете условные имена собственные прописными буквами (что, впрочем, не соответствует никаким орфографическим рекомендациям), то использовать дополнительное выделение - кавычками - нет необходимости. Иначе получается "избыточное выделение".

Возможно о награде: привез статуэтку «Золотой лев», привез «Золотого льва».