Правилен второй вариант.
Да, корректно писать с большой буквы.
Пока что название не устоялось, разные организации называются по-разному. Существует Федерация горнолыжного спорта и сноуборда России.
Следует писать со строчной буквы.
Таких случаев нет, названия государств пишутся с прописной.
С прописной буквы пишется первое слово в названии организации. Правильно: Федерация футбола Норвегии (если таково официальное название).
Корректно: Федерация боевого единоборства города Санкт-Петербурга.
Лучше: подписан в г. Москве (Российская Федерация) в двух экземплярах...
С прописной пишется первое слово и Россия: Федерация рестораторов и отельеров России.