Правильно: ни виться.
Вопрос "отчего" требует развернутого ответа, экскурса в историю русского ударения и произношения (есть и специальные монографии об этом, например труды М.В. Панова, Р.И. Аванесова и др.). Если коротко - нужно учить ударение в таких словах наизусть или сверяться со словарем.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Правильно: сколько веревочке ни виться...
В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант.
Правильно: если начнет литься кровь.
В этой пословице пишется частица НИ.