Нет. Лат. panacea - лекарство от всех болезней (не только от рака).

Корректно: При этом типе рака пересадка печени — единственный выход.

Лучше написать: меры по предотвращению рака.

Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).

Орфографически всё правильно, но грамматически верно не борьба против рака, а борьба с раком; Всемирный день борьбы с раком.

Корректная пунктуация: Смертность от этой патологии из-за несвоевременного обращения и поздней диагностики, несмотря на успехи современной онкологии, остается высокой. В ряде стран благодаря массовому скринингу удалось повысить выявляемость рака желудка на ранних стадиях.

Мужская фамилия Рак склоняется как соотносительное нарицательное существительное.

Правильно: созвездие Рака, в созвездии Рака; на меня надеются.

Согласно «Русскому орфографическому словарю» РАН (4-е изд., М., 2012), правильно слитное написание: базальноклеточный.

Запятую ставить нужно: это сложноподчиненное предложение: Ждёт, когда рак на горе свистнет. Первая грамматическая основа – сказуемое ждёт (подлежащее восстанавливается из контекста), вторая  – рак свистнет.