Сегодня Раиса Васильевна - один из самых опытных сотрудников.
"На бассейн" - употребляется в разговорной речи в значении "на занятия, на сеанс в бассейне" (ср.: хожу на + название кружка или секции). Нормативно: иду в бассейн.
Предлог на относится не к существительному проигрыватель, а к существительному большинство. Это существительное управляет родительным падежом: большинство чего? проигрывателей. Поэтому правильно: на большинстве стандартных DVD-проигрывателей. Если бы слова большинство не было, тогда, конечно, следовало бы писать: на стандартных DVD-проигрывателях.
Корректно: представить отчетность.
Нам неизвестно о существовании такого документа.
Правильно: Раиса Михайловна - один из лучших медицинских работников; она один из лучших докторов наук.