Правильно с прописной (большой) буквы.
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Корректно: был переведен в ключевой район.
Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Название района тоже логично писать Ковент-Гарден.