Возможно склонение мужской фамилии Попок с выпадением гласного (Попка, Попку) и без выпадения гласного (Попока, Попоку). Второй вариант предпочтителен, но окончательное решение, какой тип склонения избрать, остается за носителем фамилии.
Оба варианта правильны.
Нужно склонять и мужскую, и женскую фамилию.
Обращение дети надо выделить запятыми: Ваш папочка, дети, козел.
Да, такое сочетание возможно.
Правильно: самодвижущаяся повозка.