Кавычки не нужны.
Традиционное написание: "голубой период".
Верно: голубого и бежевого цветов.
Сочетание голубое топливо заключать в кавычки не требуется, если оно обозначает природный газ.
Да, Эльдорадо – существительное среднего рода. В тексте песни мы сталкиваемся с нарушением грамматической нормы.
Выражение на голубом глазу – усечённая форма фразеологизма врать на голубом глазу – врать не краснея. В основе этого выражения, вероятно, лежит представление о "ясности" взгляда, честности говорящего.
В окошко проверки следует вводить слово в форме им. п. ед. ч.: голубой.
Предложение корректно, хотя метонимический перенос (голубой = вещи голубого цвета) придает ему разговорный характер.