Правильно: подписать договОры.
Воспользуйтесь, пожалуйста, учебным пособием Е. И. Литневской.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Для этого сперва нужно иметь перед глазами словосочетание.
Первая гласная непроверяемая, вторая проверяется словом шевЕлит.