В этих словах представлен корень с чередованием чет(чес)/чит. В словах с таким корнем пишется буква и при наличии суффикса -а-, в остальных случаях пишется е.
Указанная запятая не требуется, так как в этом предложении нет повторяющего союза, а есть союз не только... но и и союз и.
Орфографически и грамматически корректно: факт непроживания. Обратите внимание: приведенный Вами оборот — канцелярский.
Правильно: на въезд в город и проживание в нем (в городе).
Пунктуация верна. Однако построено предложение небезупречно.
См. в Правилах.