Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.
Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.
Ваш вопрос неясен: в примере глагол стоит в форме прошедшего времени.
Фраза корректна.
Для слова заведующий существует женский вариант заведующая. См. также: 89">http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric89.
См. ответ на вопрос № 293707.
Правильно: воспитательная цель.
Если это вопросительное предложение целиком, то верно с не.
Если в письме было сказано, что книги нравятся, запятая не нужна (два однородных придаточных относятся к одному главному – она писала).