Корректно: эмир бухарский, эмир Бухарского эмирата.

У названия этого государства два варианта произношения: Катар (официальный) и Катар (общепринятый). Соответственно возможны варианты (и они фиксируются словарями) катарский и катарский. Словарная статья в «Проверке слова» исправлена в соответствии с данными 4-го издания «Русского орфографического словаря» РАН под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2012).

В этих событиях участвовала организация со старым названием, это старое название и должно фигурировать в письме. Но при этом нужно как-то предупредить читателя, что название было изменено.

Согласование формальное – по названию должности (т. е. по мужскому роду): Самарский государственный университет в лице ректора Ивановой Галины Ивановны, действующего...

Правильно: обучался в Самарском областном институте, с родовым наименованием ГОУ название заключается в кавычки и не склоняется: обучался в ГОУ «Самарский областной институт».