Представить — дать, вручить для ознакомления, осведомления или официального рассмотрения, заключения. Предоставить — дать возможность кому-либо обладать, распоряжаться, пользоваться чем-либо (предоставить слово, предоставить отпуск).
Таким образом, по смыслу подходит глагол представить, хотя фраза представить тетрадь на проверку звучит слишком официально. Тетради на проверку всё-таки обычно сдают.
Запятая поставлена правильно.
Да, тире уместно.
Общепринятая формулировка: заявление на отпуск.
См. в «Письмовнике».
Верно: Я вернулся из отпуска, из Сочи.
Существительное ставится в форме единственного числа: ...продолжительностью 21 календарный день.
Оснований для постановки запятых нет. Пунктуация в предложении верна.
Корректно: неиспользованный отпуск в количестве 1 календарного дня.