Слово нет не нужно заключать в кавычки.
Корректно: Согласно справке органов ЗАГС, является одинокой матерью двоих детей.
Первый вариант предпочтителен.
В первом предложении слово только лишнее, так не говорят. Верно: Мы здесь одни. Так что в данном случае одинаковое значение у слова одни и сочетания только вдвоем. Это контекстные синонимы, то есть в другом контексте (например, если бы речь шла не о двух людях, а о трех) они синонимами могут и не быть.
Подобрать проверочное слово для безударной о в слове одинокий нельзя.