Можно объявить конкурс на получение гранта, но не сам грант.
Оба варианта корректны.
Правильно: в 3-дневный срок. Обратите внимание: не под роспись, а под подпись. См. в «Словаре трудностей»: Подпись, роспись и виза.
Слово заведующий управляет творительным падежом. Правильно: заведующему муниципальным дошкольным образовательным учреждением «Детский сад № 67».
См. ответ № 198254.
Верно: первое января объявлено.