Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.

Правильно: не только... но и

В корне этих слов мы наблюдаем остатки древнего чередования гласных, которое когда-то было показателем глагольного вида. Ср.: глотка – проглатывать, смотр – просматривать, поздно – опаздывать.

С точки зрения орфографии слова с подобными корнями требуют примечания к правилу о проверке безударных гласных: нельзя проверять безударные о и а в корне словами с суффиксом -ива-(-ыва-). Например, глотать проверяем словом глотка, но не проглатывать, смотреть – словом смотр, но не осматривать, опоздать – словом поздно, но не опаздывать.

Кавычки не нужны: никаких но.

После союза но запятая ставится при наличии паузы и не ставится, если паузы нет. Решение принимает автор текста.

На месте "беглых" гласных, действительно, располагался Ъ или Ь. Но не "болгарский".

Конечно, может. И такие примеры есть в художественной литературе. Ср.: Так и ходила ― в митенках разного цвета, чулки и носки разные… Но! Входила в аудиторию и начинала лекцию с того слова, которым закончила предыдущую!.. Д. Рубина, На солнечной стороне улицы.

Знаки препинания в предложении расставлены верно. Поставить запятую после но будет ошибкой.

Словарная фиксация – без кавычек. Вот фрагмент словарной статьи «Большого толкового словаря русского языка» под ред. С. А. Кузнецова:

Но, неизм.; ср. Обстоятельство, мешающее чему-л., препятствие; возражение. Есть маленькое но. Никаких но – выполняйте задание. Давайте без всяких но. Без но не получится. В этом деле очень много но.

То же – в «Толковом словаре русского языка» под ред. С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой:

Но, нескл. ср. Возражение, препятствие (разг.) Есть маленькое но. Никаких но – выполняйте приказ.

Ответ на вопрос № 223533 исправлен.