Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Можно и так и так. Ну не знаем мы, как произносил эту строку Жуковский! Нет фонограммы!
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Этого слова нет в орфографических словарях. Может быть, воспользоваться словосочетанием: архив фонограмм?