Корректно: Я живу в Зеленом Луге (ср.: в далеком краю – в Краснодарском крае).

Извините за задержку с ответом. Ваш вопрос довольно сложный, и вот по каким причинам. Во-первых, название компании LEGO (головной офис которой находится в Дании) представляет собой аббревиатуру, образованную из букв словосочетания на датском языке leg godt, которое означает "играй хорошо" (на латинском языке lego также значит "я собираю", но компания LEGO Group заявляет, что латинская этимология названия – это не более чем совпадение). Таким образом, история названия дает нам основание для написания его прописными буквами. Во-вторых, слово лего употребляется в русском языке уже как нарицательное существительное, обозначающее конструктор такого типа вообще (не обязательно произведенный фирмой LEGO), а также игру с таким конструктором. Это дает нам основания для написания с маленькой буквы без кавычек.
Итак, наши рекомендации таковы. Предпочтительно (особенно при указании торговой марки) написание конструктор LEGO или конструктор «Лего». Но в бытовом употреблении (и тем более при передаче разговорной речи) возможно написание конструктор лего.

Верно дефисное написание: лего-робот.

Если речь идет о торговой марке, следует писать в кавычках с большой буквы. Если о типе конструктора — то без кавычек и с маленькой (см. в словаре).

Возможно как слитно, так и раздельно.

Правильно с прописной, т. к. нарицательные существительные употреблены здесь не в своем обычном значении (сейчас это микрорайоны, а не аэродром и не луг).

Это предложный падеж. См. ответ на вопрос № 263338.

Если лого - сокращение от логотип, то корректно: лого предназначен.

Сочетания написаны верно.

Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.