Верно: заведующая детским садом, управляющий банком.
Корректно: заведующая детским садом.
Слитное или раздельное написание этих слов зависит от значения.
При слитном написании также имеет значение 'еще' или 'тоже', например: это необходимо также и мне; она также примет участие в круглом столе. Раздельное написание – так же – имеет значение 'в той же степени', 'таким же образом', например: мне это необходимо так же, как и вам; ему так же весело, как и тебе; прочитай инструкцию и сделай так же.
Аналогичным образом различаются написания тоже и то же. При слитном написании тоже имеет значение 'равным образом, в равной мере, также', например: он устал, я тоже; она тоже примет участие в круглом столе. Раздельное написание – то же – имеет значение 'то же самое', 'такое же', например: она сегодня надела то же платье, что и вчера.
Упражнения на закрепление этого правила можно найти в «Учебнике ГРАМОТЫ».
Если банк называется «Москва», правильно: управляющему банком «Москва». Если имеется в виду «Банк Москвы», правильно: управляющему «Банком Москвы».
Предпочтительно в большинстве контекстов: управляющая банком.