Правильно: в школе-интернате.
Чаще говорят кличка. Но использовать слово имя в этом случае тоже не запрещено.
Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
В современном русском языке эти слова однокоренными не является (да и их этимологическое родство небесспорно, хотя вероятно).
См. в Словаре русских имён. Производные: Антонинка; Тоня; Тонюня; Тонюра; Тонюся; Нюся; Тонюха; Тонюша; Антося; Тося (Тася); Антоша; Тоша; Нина; Ина. Правильно: Тонечка.
Третий согласный С произносится твердо, произношение сосиська неправильно.
Вместо запятой следует поставить тире.
Кли-чка; клич-ка.