Да, правильно: они корпят. Но часто встречается ошибочная форма глагола корпеть – корпеют. Вероятно, именно ее имел в виду автор, когда писал карпают. Уточнили ответ на вопрос № 289222.
Кавычки не требуются: корсет на косточках.
Мы не выполняем домашние задания и задания олимпиад по русскому языку.
Запятая не нужна.