Мужская фамилия Король склоняется так же, как и соответствующее нарицательное существительное (Короля, Королю и т. д.). Женская фамилия не склоняется.
Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Да, склоняются.
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Мужские фамилии Пак и Король склоняются, женские – нет.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.
Мужская фамилия Соболь склоняется.