Правильно: Институт внешней торговли Италии.
Правильно: производства Италии, Испании...
Правилен первый вариант.
Правильно: в Корее (Корея), в Италии (Италия). Существительные, оканчивающиеся на -ИЯ, ИЕ, ИЙ, должны писаться с И на конце слова в предложном падеже. Слово Италия попадает под это правило.
Правильно: отклики на вакансию.
Нормативного способа образования прилагательного от топонима Эмилия-Романья нет.
Ставится запятая перед обращением.
Кавычки не нужны. Правильно: Год российской истории, Год Италии в России.