Употребительно: ИИ (как аббревиатура). При сокращении значимых частей слов до слогов следует писать строчными: искин.
О склонении аббревиатур см. в «Письмовнике».
Склонять название Диксон в сочетании со словом поселок не нужно. Препятствует склонению названия не то, что оно не вполне освоено, а то, что образовано от личного имени. Ср.: в поселке Артем, от поселка Ерофей Павлович.
В этом случае кавычки уместны. Но без кавычек пишется: икона Софии Премудрости Божией.