Корректно: в студии.
Занять (у кого-либо) – взять деньги на время, взаймы, одолжить (кому-либо) – дать в долг взаймы. Занять кому-либо – неправильно.
Мужская фамилия Карась склоняется, правильно в дательном падеже: Карасю.
Ошибок нет.
Корректно слитное написание.
Нет, но можно завоевать или выиграть первенство.