Со строчной. Заглавная и прописная - это одно и то же.
С прописной (заглавной) буквы следует написать первое слово в названии учреждения.
Заглавные буквы здесь не требуются.
Название района нужно писать с заглавной буквы.
Возможно использование заглавной (прописной) буквы.
Заглавные буквы не нужны.
Да, сочетание заглавная роль корректно. Это роль действующего лица, именем которого названа пьеса, фильм.