Написание географических названий в разных языках часто определяется традицией (существующей для данного языка) и вполне может не соответствовать написанию и/или произношению, принятому в той стране, где находится данный географический объект. Это нормально, так бывает во всех языках. По-русски название этого грузинского города принято писать Сигнахи, такой вариант фиксируют словари русского языка.
2. В кончном итоге -- корректно, зафиксировано в словарях.
3. См. ответ № 188456 .
4. Корректно: все участники «Груши».