Корректно: сеть Интернет (интернет).
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Правильно: сеть кофеен.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Смысл в том, что служб несколько и они образуют сеть? Или у ветеринарной службы (одной) есть сеть филиалов?
Если это не имя собственное (не название фильма, например), то никаких оснований для написания с большой буквы нет. Правильно: социальная сеть.
Мужская фамилия Гель склоняется. Правильно: Гелю Ивану Степановичу.