Правильно: слезы навернулись на глазах.
См. ответ на вопрос № 303522.
Правильно: на глаза навернулись слезы.
Все три варианта корректны.
Верно: операция (на чем?) на глазах, на позвоночнике, на желудке.
В значении 'на виду у кого-либо, в присутствии кого-либо' возможны варианты: на глазах у кого-либо и на глазах кого-либо. Вариант с предлогом у более употребителен.
Запятая не ставится.
У Тендрякова - накиПь.