Первый вариант неправилен. Второй вариант возможен, также возможен и вариант написания без прописных букв. По отношению к ведомству Морского министерства Российской империи, полагаем, сейчас приемлемы оба написания. Какой была форма названия в официальных документах, нам установить не удалось, но в публикациях об истории российского флота встречаются и вариант со строчной, и вариант с прописной (неправильные написания тоже попадаются, но на них ориентироваться не стоит). Главное, чтобы в одном тексте использовался какой-то один вариант.
Запятые не требуются.
Да, есть.
Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню").
Фамилия склоняется как слово санаторий: Нет Бородия, к Бородию, с Бородием, о Бородии.
Принято написание без наращения.