В орфографическом словаре в качестве нормативного указан вариант брненский.
Корректно: в лицее "Бауманский", в Бауманском лицее.
В официальном названии организации с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена, например: Спортивная федерация армейского рукопашного боя России. Термины пишутся со строчной буквы: армейский рукопашный бой.