Корректно: шашлык на кости.
Оба варианта возможны.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Устойчивое сочетание: жарить шашлык.
Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.
Если сказуемое предшествует однородным подлежащим, обычно употребляется форма единственного числа сказуемого: мне нравится шашлык из курицы и винегрет. Но и форма множественного числа не будет ошибкой.
Употребляется. В словарях формы мн. ч. указываются, как правило, только в том случае, если они образованы нестандартно. При этом всегда поможет "Грамматический словарь" А. А. Зализняка.
Обособление не требуется. Вместо "в связи с тем" лучше сказать "в связи с этим".