Слово «Анжи» употребляется как существительное мужского рода (по родовому слову: футбольный клуб): «Анжи» забил.
Верно: назначить уполномоченным по качеству Петрову Анну.
Фамилия склоняется.
Фамилии на -ия склоняются (и мужские, и женские). Правильно: у Анны Нарсии, Анну Нарсию, с Анной Нарсией.
Эти фамилии склоняются. В родительном падеже: Анны Глезы, Анны Глёзы.