Правильно: в "Стиле", но в магазине "Стиль".
Англ. casual буквально означает "обиходный, повседневный стиль".
Правильно без кавычек: стиль кантри.
В обиходной деловой коммуникации используется слово фирстиль.
Эти слова (люкс, свинг) выступают как несогласованные приложения. Поскольку они получили "прописку" в словарях русского языка (они присутствуют в словарях), то кавычки использовать не нужно.
Корректно: в стиле классицизм.