Верно: Возложить исполнение обязанностей директора на Иванову. Смысл заявления в том, что раньше обязанности директора исполнял один сотрудник, а теперь исполнять эти обязанности будет другой сотрудник.
Имеется в виду существительное отгул (отпуск за сверхурочную работу)? Множественное число: отгулы.
Правильно: Уеду в отпуск, но ненадолго.
В непринужденной речи так сказать можно.
Если заголовок состоит из двух частей, соединенных союзом или, перед союзом ставится запятая, а первое слово второго названия пишется с большой буквы: Холодная ночь, или Враг не спит.
Словосочетание лётная погода корректно, оно зафиксировано нормативными словарями русского языка.
Верно: предоставить отпуск Будаю.
Вторая запятая закрывает придаточное предложение на какое количество дней предоставляется отпуск. Пунктуация верна.
Верно: предоставляется отпуск продолжительностью двадцать один календарный день.
Правильно: 4 календарных дня.