Правильно: Чеченская Республика. В официальных названиях государств, а также субъектов Российской Федерации слово республика пишется с большой буквы.
Правильно со строчной.
Правильно: Республика Татарстан.
Правильно с тире: Республика Северная Осетия – Алания.
См. ответ на вопрос № 265817.
См. ответ на вопрос № 265817.
См. ответ № 227728.
Согласно Федеральному конституционному закону от 21 марта 2014 года № 6-ФКЗ «О принятии в Российскую Федерацию Республики Крым и образовании в составе Российской Федерации новых субъектов – Республики Крым и города федерального значения Севастополя», в составе Российской Федерации образуются новые субъекты – Республика Крым и город федерального значения Севастополь.
Устоявшегося (и нормативного, правильного) написания нет, предложенный Вами вариант оформления возможен.