Верно: аюрведа. Остальные аюрведические термины тоже уместно писать со строчной буквы, хотя нормативной рекомендации нет.
Авата́ра (санскр. «нисхождение») — термин в философии индуизма, обычно используемый для обозначения явления или воплощения Бога на планете Земля.
Кроме этого, в Интернете авата́р, авата́ра, также юзерпик (от англ. user picture — «картинка пользователя») — небольшое статичное или анимированное изображение (часто ограниченное размером в некоторое число пикселей), обычно не являющееся истинной фотографией пользователя.
Ударение остается на корне: сваты.
Уместно написание обоих слов с большой буквы в этом сочетании.
Верно: празднуют Ивана Купалу.
Правильно: день Ивана Купалы.
Слово хвать не является глаголом. Это междометие, используемое в функции сказуемого.