Корректно со строчной: стиль прованс.
Это неудачная калька с английского. Правильно: здоровый образ жизни.
Англ. casual буквально означает "обиходный, повседневный стиль".
Правильно без кавычек: стиль кантри.
Правильно: стиль барокко, стиль модерн. Без родового названия модерн склоняется: архитектура модерна.
Стиль милитари по аналогии можно писать без кавычек.
Учебник Вам расскажет больше, чем "Справочное бюро".
Возможные варианты: ООО «Стиль» по Вашему запросу направляет документ; ООО «Стиль» в ответ на Ваш запрос направляет документ.