Неодносложные существительные мужского рода на -ий в форме предложного падежа ед. числа имеют в безударном положении, в отступление от общего правила, окончание -и: о гении, в санатории, о Сергии, о Василии, о Юрии.
Оба варианта корректны.
Правильно: в Сергиевом Посаде.
Верно: рассмотрели Витино изобретение; установили Серегин датчик.
Правило читайте в ответе 255710.
Мужская фамилия Милошевич склоняется, женская не склоняется.
Фамилия Лазо (как и прочие фамилии на -О) не склоняется.
Это два разных государственных образования. Республика Сербия – государство со столицей в Белграде. Республика Сербская – государственное образование на территории Боснии и Герцеговины.