Правильно: дом быта «Русь». Общепринятого сокращения слов дом быта не зафиксировано.

См. ответ № 194780 .

Согласно словарю В. И. Даля лЕха - (диал.) гряда, полоса, межа.

Внутри фразы знаки препинания не требуются.

Языковых ошибок нет.

Предпочтительно: в период его правления.

Употребление предлогов в, на во многих случаях, в том числе в этом, объясняется исключительно традицией.

Предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с – предлогу на (в школу – из школы, на почту – с почты). Мы говорим: на Русь, поэтому: с Руси.

В названии Древняя Русь оба слова пишутся с прописной буквы. А вот прилагательное древнерусский пишется со строчной буквы. Правильно: памятники Древней Руси, но: древнерусские памятники, древнерусская литература.

Вероятно, Вы имеете в виду этот отрывок из поэмы Гоголя «Мертвые души»: Не так ли и ты, Русь, что бойкая необгонимая тройка несешься? Дымом дымится под тобою дорога, гремят мосты, все отстает и остается позади. Остановился пораженный божьим чудом созерцатель: не молния ли это, сброшенная с неба? что значит это наводящее ужас движение? и что за неведомая сила заключена в сих неведомых светом конях? Эх, кони, кони, что за кони! Вихри ли сидят в ваших гривах? Чуткое ли ухо горит во всякой вашей жилке? Заслышали с вышины знакомую песню, дружно и разом напрягли медные груди и, почти не тронув копытами земли, превратились в одни вытянутые линии, летящие по воздуху, и мчится вся вдохновенная богом!.. Русь, куда ж несешься ты? дай ответ. Не дает ответа. Чудным звоном заливается колокольчик; гремит и становится ветром разорванный в куски воздух; летит мимо все, что ни есть на земли, и, косясь, постораниваются и дают ей дорогу другие народы и государства.