Эти названия склоняются. Мумбай и Дубай изменяются по падежам так же, как, например, слово сарай. Правильно в предложном падеже: в Мумбае, в Дубае.
Правильно: поехали в Дубай.
Правильно: в Дубае. Именительный падеж - Дубай.
Правильно: в Дубае.
Дубай – существительное второго (по школьной грамматике) склонения (как слова май, сарай и т. п.). Правильно: (достопримечательности) Дубая, я был в Дубае и т. д.
Правильно: Дубай. Это название склоняется.
См. в рубрике «Актуальный вопрос».
Правильно: отдыхал в Дубае. Дубай – имя существительное мужского рода, склоняется как слово сарай.
Словари собственных имен (см., например: Ф. Л. Агеенко. Собственные имена в русском языке. М., 2001) фиксируют вариант Дубай (Дибай). Правильно: в Дубае (Дибае). Ср.: сарай – в сарае.
Правильно: Дубай, программа пройдет в Дубае.