Валить кулем, кульем - означает "в больших количествах, мешками": Беды кульем валятся, а счастье золотниками.
Да, объяснение есть. Валенки пишется через е, потому что исторически связано с причастием валенный, образованным от глагола валить в значении «скатывать, сбивать что-либо из шерсти». В современном русском языке слово валенки является исключением, так как соотносится с глаголом валять, с сочетанием валяные сапоги.
В слове завалинка -ин-, -к- – суффиксы. Гласную в суффиксе -ин- нельзя проверить, подобрав однокоренное к завалинка слово.
Справочная служба не выполняет домашние задания. Воспользуйтесь, пожалуйста, нашими словарями.
Валя - уменьшительный (домашний) вариант имени Валентина. Вопрос об идентичности имен с юридической точки зрения лучше задать юристам.
Валяный – изготовленный из шерсти или пуха путем валяния. Правильно: валяные изделия.