Название праздника Курбан-байрам не заключается в кавычки. Склоняется только вторая часть: поздравить с Курбан-байрамом.
Корректно: в честь Ураза-байрама; в честь праздника Ураза-байрам.
Воспользуйтесь, пожалуйста, орфографическим словарем ресурса «Проверка слова».
Кавычки не нужны.