Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Обе грамматические формы верны.
Варианты равноправны, выбираете Вы.
Оба варианта возможны.
Оба варианта возможны. Подробнее см. ответ на вопрос № 243242.
Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.