Сам по себе корень употребляться не может; можно говорить о допустимости / недопустимости употребления слова с этим корнем. Глагол ложиться (форма повелительного наклонения этого глагола – ложись) входит в состав современного русского литературного языка, а вот глагол ложить – нет, т. е. употребление слова ложить в речи грамотного человека недопустимо.

Лучше: в салазки. ...В салазки жучку посадив, себя в коня преобразив...

Довольно часто в этой пословице ставят запятую. Однако в соответствии с правилами пунктуации возможно два варианта: без какого-либо знака перед что, либо с тире. Это предложение по структуре простое, подлежащее выражено инфинитивом разговориться, сказуемое – сравнением что меду напиться. В таких случаях знак препинания обычно не ставится, но в случае акцентирования сказуемого (и для пословицы это кажется вполне оправданным) допускается тире.   

Что Вас смущает в этом глаголе? Какие затруднения возникают с его употреблением?

Следует писать слитно.

См. в "Справочнике по фразеологии" на этой странице.

Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.

Такая формулировка возможна. Может быть, лучше: Куда ставить (класть) папки?

Эта аббревиатура склоняется. Правильно: лечиться от СПИДа.