Винительный.
Предпочтительно эти имена не склонять. Женские личные имена, оканчивающиеся на согласную, преимущественно не склоняются.
Такого выражения нет, есть выражение засучив рукава.
Запятая перед чтобы нужна. Однако смысл предложения неясен. Возможно, его следует перестроить.
В обоих случаях правилам соответствует написание с заглавных букв (Красный Перекоп, Щегловская Засека).
В данном случае возможно использование кавычек (чтобы подчеркнуть, что слово употреблено в переносном значении).
Запятые не требуются. На наш взгляд, предложение построено не вполне корректно, его лучше переформулировать.
Оборот как и другие регионы области надо выделить запятыми с двух сторон: Хотя, замечу, сильная засуха не обошла Добрушчину, как и другие регионы области, стороной.