Правильно со строчной буквы: чемпионат КХЛ сезона-2015/2016.
Слово чемпионат пишется строчными: чемпионат мира по футболу, чемпионат Европы, чемпионат России. Слово Кубок пишется с большой буквы как первое слово в названии спортивных соревнований: Кубок Европы по водному поло, Кубок мира, Кубок России. Но: Межконтинентальный кубок.
Вы написали эти сочетания правильно.
Правильно: чемпионат мира, чемпионат Европы, чемпионаты мира и Европы.
Логичным было бы такое написание: Российский чемпионат по ралли-рейдам.
Для написания с большой буквы нет никаких причин. Верно написание строчными.
Вселенная пишется с большой буквы как астрономический термин (в знач. «космос, мироздание»): строение Вселенной, тайны Вселенной. В знач. 'вся земля, все страны' это слово пишется с маленькой буквы.