Корректно: Поздравляю с праздником – Днем сотрудника органов внутренних дел!
Необходимо тире: женщина – сотрудник органов внутренних дел.
Правильно: запросить информацию у МВД, сделать запрос в МВД.
Если слово управление имеет значение 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.', то оно требует формы родительного падежа: управление образования. В других случаях корректно: управление финансами, управление автомобилем.
Запятая после дел (в конце деепричастного оборота) нужна.
Если слово управление имеет значение 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.', то оно требует формы родительного падежа: управление здравоохранения, управление образования.
Если управление в значении 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.', правильно: управление чего. В значении 'регулирование хода, движения, работы' правильно: управление чем.